Groupe de travail en matière condensée

The notion of Frobenius manifold originated from topological field theory and proved important in the study of integrable hierarchies of PDEs with one spatial dimension.

In this talk we introduce a structure of infinite-dimensional Frobenius manifold on a subspace in the space of pairs of functions analytic in the inner/outer regions of the unit circle in the complex plane with simple poles at 0/infinity respectively.

We argue that the equations of the dispersionless 2D Toda hierarchy are contained in a much larger integrable hierarchy associated with this Frobenius manifold.

In the first part of the talk we will review the construction of the bi-Hamiltonian formulation of the (dispersive) 2D Toda hierarchy through R-matrix theory and some basic facts of the theory of Frobenius manifolds.

http://arxiv.org/abs/0902.1245v1

Understanding decoherence is not only important from a fundamental point of view but also essential to design good error correction strategies to prevent the collapse of quantum processors. When a composite system interacts with an environment, decoherence typically generates loss of entanglement between fragments. This process may depend on many details such as the nature of the system-environment interaction, the system and environment internal dynamics, etc. This talk is focused on the case when the system is coupled to an environment with non-trivial internal
dynamics and spatial correlations.

Different models for this situation are presented, starting with the “central spin model” in which a spin-1/2 particle or “qubit” interacts in the same way with all the sites of a spin chain with Ising-type Hamiltonian. In this case, the presence of phase transitions in the environment turns out to be particularly relevant. Indeed, it is responsible for an enhancement of decoherence for weak system-environment couplings. This phenomenon is also found in a variation of this model, considering a local interaction of the qubit with only one site of the chain. Finally, the case of two qubits locally coupled to the chain is analyzed. This model allows for the study of how correlations between the environments for the qubits affect the decoherence process. The dependence of decoherence on the distance between qubits is found to be different for weak and strong system-environment couplings. The transition to the long distance limit is studied, in connection with the scale set by the correlation length of the environment. The evolution also displays non-Markovian effects such as environment-induced interactions between the qubits.

Par TQFT (Topological Quantum Field Theory) j’entends ici le formalisme proposé par Atiyah et Segal pour décrire les invariants quantiques de Reshetikhin et Turaev en dimension trois, suite à l’interprétation par Witten du polynôme de Jones des noeuds à partir de la théorie de Chern-Simons et de la théorie conforme des champs. On sait que souvent les invariants numériques obtenus ne sont pas des nombres complexes quelconques, mais des entiers algébriques. L’accent ici n’est pas sur l’algébricité de ces nombres, qui est facile, mais sur leur intégralité, qui l’est beaucoup moins. La théorie la plus simple pour voir apparaître ce phénomène est la théorie SO(3) quand le paramètre quantique q est une racine de l’unité d’ordre premier. Pour cette théorie, je sais expliquer l’intégralité des invariants quantiques par une << structure entière >> sur toute la TQFT qui n’avait pas été observée auparavant. Le but principal de l’exposé sera de décrire quelques aspects et conséquences de cette structure entière. Par exemple, la notion de foncteur modulaire topologique doit être repensée complètement en TQFT entière pour tenir compte de la non-semisimplicité de la situation sur les entiers algébriques.

Si le temps le permet j’essaierai également de montrer comment je me sers de la structure entière pour faire un developpement perturbatif de type semi-classique de cette TQFT. Comprendre le rapport entre ce developpement et celui proposé notamment par Witten via des techniques de phase stationnaire en dimension infinie reste un problème ouvert.

Using the mapping between the Fokker-Planck description of classical stochastic dynamics into a quantum Hamiltonian, we argue that a dynamical glass transition must have a precise definition in terms of a static
(equilibrium) quantum phase transition. This transition is characterised by a massive collapse of the excited states, leading to a divergent static quantum susceptibility throughout the glassy phase, which directly relates
to a non-vanishing Edwards-Anderson order parameter. The quantum mechanical language allows to search for off-diagonal order parameters to detect the classical ‘dynamic order’ using transverse bases — an approach that corresponds to non-static observables in the original classical language. Even in the absence of a local order parameter, the transition can be detected via the quantum fidelity of the ground state wavefunction, which we show translates directly into a singularity in the heat capacity of the classical system. Therefore a dynamical glass transition in a classical system must also have a thermodynamic signature.

Dans une théorie des champs conformes, les opérateurs peuvent être classés par leurs dimensions d’échelles, et pour les opérateurs sans spin, celles-ci  permettent de définir une intégrale covariante de ces champs sur une surface avec une métrique. Lorsque la métrique fluctue, des dimensions anormales peuvent apparaître. La physique suggère une loi particulière sur les métriques, et dans ce cas, la relation entre
les dimensions d’échelle de la théorie conformes et les dimensions habillées par la gravité quantique est donnée par la célèbre formule KPZ.

Certains opérateurs conformes sont associés directement à des objets géométriques (clusters, etc), et les relation KPZ deviennent alors des relations entre dimensions fractales suivant qu’elles sont évaluées dans
une métrique lisse ou choisie avec le poids dicté par la gravité quantique, poids dont la partie conforme est donnée par l’action de Liouville.

Récemment, Duplantier et Sheffield on proposé une version purement probabiliste des relations KPZ géométriques, utilisant la mesure du champs libre pour définir une forme de volume aléatoire à partir de la
statistique du champs libre. Leur approche recoupe partiellement les résultats connus, mais elle prouve aussi dans leur modèle la validité des relations KPZ pour des fractals arbitraires n’ayant pas forcément de
lien avec l’invariance conforme.

Après avoir expliqué dans les grandes lignes les résultats de Duplantier et Sheffield, j’exposerai notre travail avec François David, où nous retrouvons les relations KPZ géométriques avec une définition covariante des dimensions fractales via des méthodes de noyau de la chaleur.

We present a genuine bosonic discretization of the sine-Gordon model. We quantize and analyze the model in the regime of rational beta square for which cyclic representations of the Weyl algebra exist at any quantum site of the chain. Starting from that, we define and analyze on the full chain the cyclic representations of the Yang-Baxter algebra. On the one hand, we prove the existence of families of irreducible representations of the Yang-Baxter algebra for which the explicit construction of the basis of B eigenvectors is given. On the other hand, we show the existence of special representations for which a reference state can be defined. Thanks to that for all the types of representations, the spectrum of the lattice sine-Gordon model can be analyzed by the standard tools of integrability, i.e. by Separation of Variables (SOV) and Algebraic Bethe Ansatz (ABA), respectively.

Because of its high electron affinity, C60 molecule (fullerene) may be a good candidate for building single-molecule transistors, which represent a promising route towards further miniaturization of electronical circuits. In this context, a number of experiments have been performed in recent years where fullerene molecules have been either adsorbed on metallic surfaces and studied by scanning tunneling microscopy, or contacted with metallic electrodes to measure the inelastic tunneling spectrum as function of the applied bias and gate voltages. A rich physical behavior has emerged from these experiments ranging from Kondo-like zero-bias anomalies to Fano-like anti-resonances. Recent experiments in Grenoble even found signals of a quantum criticality induced by the gate voltage.

In the seminar, I will discuss the phase diagram and its physical properties of a model for a C60 molecule contacted to metallic reservoirs. The first part will consist of building up such a model on the basis of known features of C60,
the most symmetrical large molecule found so far. Next, I will show that, if one assumes that the large icosahedral symmetry of the isolated C60 remains unbroken in the contact geometry (which is unlikely in the actual experiments, but can be regarded as a convenient starting point to add subsequently symmetry breaking perturbations), the problem becomes effectively equivalent to a non-trivial boundary conformal field theory. Specifically, all phases in the phase diagram are found to correspond to the different conformally invariant boundary conditions of the two-dimensional 3-state Potts model. By combining together the Wilson numerical renormalization group with the boundary conformal field theory, I will show how it is possible to characterize in detail all physical properties in the phase diagram. Finally, I will discuss, on the basis of these findings, less and more recent experiments, and, if time allows, some suggestive ideas in connection with the physics of alkali doped fullerides.

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.94.236401

Dans ces cours je vais introduire la nouvelle description des modeles integrables quantiques en considerant comme exemple le modele XXZ. Cette description est proche de la Theorie des Champs Conforme (CFT): l’espace des operateurs locaux est presente comme un module obtenu par l’action d’une certaine algebre sur le champ primaire. Dans le cas de la CFT l’algebre en question est l’algebre de Virasoro. Dans le cas integrable c’est une algebre fermionique que nous avons trouvee recemment avec H. Boos, M. Jimbo, T. Miwa, Y. Takeyama. Je vais montrer que la structure fermionique simplifie considerablement le calcul des fonctions de correlation qui s’expriment a partir de deux fonctions $\rho (\z)$ et $\omega (\z,\xi)$. La fonction $\rho (\z)$ est simple, son origine est assez claire. La fonction $\omega (\z,\xi)$ est beaucoup plus interessante, je vais expliquer que cette fonction est une deformation quantique de la differentielle canonique de deuxieme espece sur la surface de Riemann.

Pendant ces cours je vais developper les sujets suivants:

1. Le modele XXZ, son integrabilite et sa relation a la CFT.

2. L’algebre quantique $U_q(\slth)$, ses representations et la matrice $R$.

3. La definition des operateurs fermioniques est les formules de reduction.

4. Les relations de commutation.

5. La relation aux fonctions de correlation, l’espace de Matsubara.

6. L’introduction a la theorie de surface de Riemann. Les relations
bilineaires et la differentielle canonique.

7. La deformation quantique de la theorie de Riemann.

8. L’application de la differentielle canonique deformee aux fonctions de correlation.

9. La limite conforme et la relation entre la description
fermionique et la description a partir de l’algebre de Virasoro.

Les notes du cours sont disponibles ici:  lectureshome.pdf

We develop an exact non-perturbative framework to compute the nonequilibrium steady state properties of quantum impurities connected to leads subject to source-drain voltage. We show that in the open system limit the non-equilibrium physics is captured by eigenstates defined with boundary conditions set by the leads. The eigenstates are current carrying and entropy producing, with the dissipation inherent in the limit. We construct these eigenstates by means of a recently introduced Scattering (or Open) Bethe
Ansatz approach, a generalization to nonequilibrium of the Thermodynamic (or Closed) Bethe Ansatz. We compute the I(V) curve of the Interacting Resonance Level and observe a Fermi Edge Singularity out of equilibrium as the impurity level approaches resonance. We then apply the approach to the quantum dot (the nonequilibrium Anderson Impurity model) and compute the conductance G(V ; \epsilon_d), noting the formation of the Kondo peak as the gate voltage \epsilon_d is decreased, and the peak destruction as the source-drain voltage V is increased.

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.96.216802

Les modèles d’”impuretés quantiques”, qui décrivent une structure microscopique couplée à des bains macroscopiques, connaissent un regain d’intérêt. Ils sont en effet bien adaptés à la description de la physique de nanostructures connectées à des réservoirs électroniques macroscopiques, un domaine en rapide développement. Du point de vue théorique, la prédiction des propriétés de transport de ces modèles requiert la prise en compte des fortes corrélations, souvent hors-équilibre, et présente donc de considérables difficultés. Nous montrerons comment la théorie des champs et l’intégrabilité permettent de décrire le régime hors d’équilibre d’un modèle d’impureté quantique, le modèle du niveau résonant en interaction. Notre approche met notamment en évidence une condition suffisante pour la propriété d’intégrabilité “hors équilibre”. Au point autodual, où cette condition est satisfaite, nous calculons la caractéristique complète I-V à toute température, ainsi que le bruit de grenaille. Ces résultats analytiques sont en parfait accord avec des simulations par le DMRG dépendant du temps. Un effet frappant des corrélations est le développement d’un régime de conductance différentielle négative.

http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.101.140601

The Baxter’s three-coloring model is considered. It is shown that the partition function of the model satisfies the functional equations similar to the functional
equations satisfied by the partition function of the six-vertex model for the special value of the anisotropy parameter. The equations under consideration are solved in the nontrivial trigonometric limit.

Quantum annealing is a general idea of optimising using quantum fluctuations instead of thermal fluctuations as in simulated annealing. Remarkably, it can be shown that any algorithm in quantum computing can be expressed this way. What problems can it solve really better than classical computing? I will discuss some ideas coming from glass physics, and some perspectives for future work.

On etudiera un modele de pavages qui generalise le modele carre/triangle etudie par M. Widom, Kalugin et par de Gier et Nienhuis. On montrera qu’il est exactement soluble (equation de Yang-Baxter, Ansatz de Bethe). On montrera le lien avec les coefficients de Littlewood-Richardson, i.e. avec la decomposition du produit de fonctions de Schur en fonctions de Schur.

A tout systeme discret ayant une evolution rationelle, on peut associer un indice global de complexite: son entropie algebrique. Les systemes integrables ont une entropie nulle. Il a ete conjecture que l’entropie est le logarithme d’un entier algebrique, et il est donc naturel de chercher quelles valeurs cette entropie peut effectivement prendre. J’apporterai des elements de reponse a cette question et
introduirai le “gap d’entropie”.

Dans cet expose, je presenterai des resultats recents sur l’etude d’interfaces critiques dans les modeles desordonnes, cf arXiv: 0809.3985. Inspires par des travaux recents sur l’etude des interfaces dans le contexte SLE, j’explique comment nous determinons la dimension fractale des interfaces critiques analytiquement via la theorie conforme associee au modele pur par un developpement perturbatif du desordre, puis par des simulations de type Monte Carlo puis par des simulations avec la matrice de transfert. Les trois methodes donnent un parfait accord dans le cas du modele de Potts a 3 etats qui est l’exemple le plus simple avec un point fixe non trivial en presence de desordre.

http://fr.arXiv.org/abs/0809.3985