Last updated: 03/2003
Je travaille sur différents modèles de mécanique
statistique à deux dimensions, et en particulier leur
résolution analytique exacte. Il y a deux grands axes dans ma
recherche:
Les matrices aléatoires possèdent deux motivations physiques relativement distinctes. Historiquement, la première a été l'étude de la répartition des niveaux d'énergie d'un système trop complexe pour être étudié de facon analytique: le Hamiltonien de ce système est remplacé par une matrice aléatoire de grande taille, l'espoir étant que certaines propriétés statistiques des niveaux d'énergie auront survécu. Cette idée, apparue en physique nucléaire, a été raffinée dans le cadre du chaos quantique (cf aussi l'application aux systèmes désordonnés). Un problème important est celui de l'universalité, c'est-à-dire l'indépendance des propriétés obtenues par les matrices aléatoires de la loi de probabilité placée sur l'espace des matrices. J'ai quelque peu travaillé sur ces questions d'universalité, cf [1,2].
La seconde motivation des matrices aléatoires en physique
provient de l'observation que les diagrammes de Feynman d'une
théorie matricielle (c'est-à-dire la représentation graphique
du développement perturbatif de cette théorie autour d'une
théorie gaussienne) peuvent être représentés sous forme de
surfaces bidimensionnelles discrétisées. Plus précisément,
dans un modèle de matrices N x N, chaque diagramme acquiert un
poids N^c, où c est la la caractéristique d'Euler-Poincaré de
la surface sous-jacente; de sorte qu'à grand N les diagrammes de
topologie sphérique (dits diagrammes planaires, ou encore
cartes planaires pour les mathématiciens) dominent.
Une intégrale matricielle peut ainsi être vue comme une sommation sur des surfaces bidimensionnelles discrétisées: c'est donc une théorie de surfaces fluctuantes (ou de membranes, ou encore de la gravité quantique discrétisée...). En ajoutant des degrés de liberté supplémentaires, on peut ainsi représenter sous forme d'intégrale matricielle des modèles de mécanique statistique, mais qui sont placés sur des réseaux bidimensionnels aléatoires. Il existe un certain nombre de techniques, dont certaines que j'ai développées, pour calculer exactement ces intégrales dans la limite de grand N et donc résoudre le modèle statistique correspondant sur des graphes planaires aléatoires. J'ai ainsi résolu différentes variantes du modèle à 8 vertex [5,10], ainsi que le modèle de Potts [7]. Je continue actuellement de travailler sur d'autres formulations du modèle de Potts sur réseaux aléatoires.
Egalement, on voit que les modèles de matrices
permettent de résoudre un certain nombre de problèmes de
combinatoire énumérative: outre l'énumération de différentes
classes de cartes planaires, qui est directement donnée par des
modèles matriciels appropriés, il existe d'autres objets
mathématiques dont le comptage se ramène également à de tels
modèles. Ainsi, c'est le cas des noeuds (et ses variantes:
entrelacs, enchevêtrements). En effet ils peuvent être
représentés sous forme de diagrammes planaires en les projetant
sur une feuille de papier...
Reste le délicat problème
des équivalences topologiques: à un même noeud peut
correspondre plusieurs diagrammes distincts, mais pour une
énumération correcte il ne faut le compter qu'une seule fois.
Avec J.-B. Zuber, nous avons travaillé sur ces questions [8,9,11], et trouvé des solutions
exactes à un certain nombre de problèmes précis
d'énumération.
Mes travaux actuels sur ces questions portent plutôt sur l'élaboration et l'implémentation d'algorithmes dérivés de nos résultats sur les noeuds et qui permettent de résoudre des problèmes d'énumération plus généraux que ceux que l'on sait traiter analytiquement, cf mes travaux en collaboration avec J. Jacobsen [16] et également avec G. Schaeffer. Nous avons obtenu ainsi des tables de nombres de classes d'enchevêtrements allant jusqu'à 23 croisements, et avons fait du Monte Carlo sur des entrelacs qui ont jusqu'à 10^7 croisements.
Finalement, nous travaillons aussi avec J.-B. Zuber sur la généralisation de certains de ces résultats aux noeuds virtuels, qui sont directement reliés aux diagrammes non-planaires apparaissant aux ordres supérieurs du développement toplogique des modèles de matrices.
Un système est dit intégrable s'il possède autant d'intégrales du mouvement que de degrés de liberté. Dans le cadre de la théorie quantique des champs à deux dimensions (ou modèles statistiques 2D, ou chaînes de spins quantiques 1D), l'intégrabilité prend la forme de la célêbre équation de Yang-Baxter, qui signifie physiquement la "diffusion factorisée" des excitations. Une des méthodes employées dans de tels modèles est de diagonaliser exactement leur Hamiltonien grâce à l'Ansatz de Bethe (cf par exemple [3,4]). Malgré la restriction à deux dimensions d'espace-temps, les modèles intégrables ont eu de nombreuses applications, non seulement en théorie quantique des champs et mécanique statistique générales, mais aussi en matière condensée (comme l'effet Kondo [4]).
Actuellement, je m'intéresse à des questions de sensibilité aux
conditions de bord du modèle à six vertex, un modèle intégrable
classique de mécanique statistique à deux dimensions.
La forte
influence des conditions de bords est un effet bien connu dans le
domaine des pavages aléatoires, comme par exemple les pavages de dominos. En particulier
la "limite thermodynamique" n'y existe pas au sens usuel:
des quantités de "bulk" dépendent des conditions
de bords même dans la limite de systèmes de taille
infinie. Mais les pavages de
dominos peuvent être reformulés comme un cas très particulier
du modèle à six vertex. Dans [12,13], V. Korepin et moi-même avons
montré qu'un tel effet doit exister dans le modèle
général: cf cette petite excursion dans
l'espace des paramètres du modèle à six vertex
(décrit la polarisation moyenne -- i.e.
moyenne locale des vecteurs flèches -- avec des conditions
aux bords spéciales [DWBC]. couleur = orientation des flèches,
intensité = module de la polarisation. Delta=-0.9), ou une
autre similaire (Delta=0) dans une représentation
différente (fonction hauteur associée).
Retour à l'index